第十章 算术

如果不通过书面语言和数字进行强化，孩子初期所收获的这些知识，就很容易荒废掉。因此，一旦孩子学会书写文字和数字，这些积累就为将来的教育提供了无可限量的机会和广阔的前景。

对于算术，孩子本能地拥有很多必要的知识，这些知识本身就是一种准备，为孩子在计算方面所要具有的清晰概念奠定了基础。数量的概念已经在感官训练阶段通过使用的教学用具体现出来了：长、短、深、浅等。“识别”和“辨明差异”的概念是感官训练的实际技巧中所涉及的一部分。感官训练中既涉及对物体的识别，也涉及对相似物体按顺序进行排列。这里我特别举一个例子，就是使用圆柱体插孔训练的第一个练习，这个练习甚至两岁半的小孩也可以完成。如果孩子把一个圆柱体放入到一个明显过大的插孔中，那么最后会有一个圆柱体找不到自己对应的位置，孩子会本能地在一系列的连续练习当中思考为什么总有一个圆柱体不能对应到自己的位置上。有时候，老师会急于给出关于数字的“一些特定的初级概念”，但是孩子们的头脑尚未做好准备来接受这些，而通过循序渐进的练习和一个相对缓慢的自我培养过程，孩子的大脑就准备妥当了。

如果想马上开始算术方面的教学，我们就必须借助感官训练时所采用的教学用具。

让我们来看看立体插孔练习之后我们向孩子们所展示的3套工具，它们分别是：教孩子区分大小的工具（粉红色立方体）、教孩子认识宽度的工具（棕色棱柱）和教孩子认识长度的工具（绿色木板）。每个系列的10个工具之间都有一定的关系。在认识长度的那一组工具中，最短的那块木板是其余所有木板的基本单位，第二块木板是第一块木板的两倍，第三块是第一块的3倍，而长度增长的比例是每块木板10厘米，其他的尺寸都保持不变，即所有木板的截面都相同。

这10件工具之间保持着一定的关系，这种关系与1、2、3、4、5、6、7、8、9、10等计数的自然序列完全一致。

第二组工具是用来教导孩子们认识宽度的，棱柱的长度保持不变，但是棱柱的横截面发生了变化。横截面的边长随着自然计数的序列而变化，第一个棱柱的正方形截面边长为1厘米，第二个为2厘米，第三个为3厘米，以此类推，直到第十个棱柱，它的正方形截面边长为10厘米。因此，棱柱相互之间的比例与平方数序列相同（1、4、9等），第一个棱柱边长为1厘米，那么4个这样的棱柱就能构成边长为2厘米的第二个棱柱，9个这样的棱柱才能构成边长为3厘米的第三个棱柱，以此类推。因此，教导孩子认识宽度的10件工具，具有如下的比例关系：1：4：9：16：25：36：49：64：81：100。

粉红色立方体的边长是根据数字顺序依次递增的，也就是说，第一个立方体的边长为1厘米，第二个为2厘米，第三个为3厘米，依此类推直至第十个立方体，它的边长就是10厘米。因此，这些立方体的体积之间所存在的关联就是从1到10这个数列的立方乘积之比，即，1：8：27：64：125：216：343：512：729：1000。实际上，要制成边长为2厘米的第二个粉红色立方体，就需要8个边长为1厘米的第一个粉红色立方体；要制成边长为3厘米的第三个粉红色立方体，就需要27个边长为1厘米的第一个粉红色立方体，依此类推。

孩子们天生就具有对事物进行区分的能力，因为孩子们能很容易发觉粉红色立方体的相关练习是三套练习中最容易的，而绿色木棒相关的练习是最难的。我们教导孩子算术时，要选用长一些的木棒，但是需要对这些木棒进行改装，把它们分成10个部分，每部分长度都是10厘米，并且要把这些木棒分别漆成红色和蓝色。比如，比第一个木棒长4倍的木棒很明显是由4个相同长度的木棒构成的，它们呈现出红蓝相间的颜色，并且与其他木棒相似。

我们把木棒按顺序摆好后就可以教孩子们计数了：1、2、3等，从1数到10。在数数的时候，可以一边用手点着木棒一边数数。为了帮助孩子培养清晰的计数概念，我们还是会使用惯用的“三阶段”方法来让孩子对单个的小木棒进行识别。

我们把头3个木棒放在孩子面前，指着它们或者把它们依次轮流握在手中，在把木棒展示给孩子的时候，我们可以说：“这是1。”“这是2。”“这是3。”我们指着每个木棒的分割线来进行计数，一边数，一边确认：“1、2，这是2。”“1、2、3，这是3。”然后，对孩子说：“给我2。”“给我1。”“给我3。”最后，我们指着一个木棒问孩子：“这是几？”孩子回答：“3。”然后，我们和孩子一起数：“1、2、3。”

我们以同样的方式按顺序教孩子计数，根据孩子的表现，每次在原有的基础上添加一两个木棒。

这套教学用具的最大价值在于它能够给孩子提供一个直观的计数概念。当孩子说出一个数字时，这个数字就好像是真实的、具体存在的物体一样，像是数字和实物有机结合的综合体。我们说某个人拥有100万，意思是，他拥有的财富可以用100万个相应的价值衡量单位来衡量，而且所有的这些价值衡量单位都属于这个人。

所以，如果我们在数字8的基础上加上7，就是说，一个数字加上另一个数字，这些数量很明确地代表着同类单位的集合。

我们向孩子们展示9的时候，孩子的手里所持有的是一根不易弯曲的木棒，木棒本身完整，但它是由用于计数的9个等值的部分组成的。孩子们做加法8+2的时候，就会把两个木棒连接好摆放在一起，这两根木棒的其中一根是由8个长度相等的小木棒组合成的，另一个则是由2个长度相等的小木棒组成。但是在一般的学校里所使用的教学方法与此相反，老师在教孩子计算时，为了使计算更容易，会给孩子不同的物品，比如，豆子或者弹球等物品，一旦涉及我所提到的计算（8+2），孩子会拿出8个弹球，然后添加两个。那么，一般情况下，孩子的脑海中留下的印象不是自己做了8+2的运算，而是做了1+1+1+1+1+1+1+1，然后再1+1的数算。整个结果对于孩子而言并不那么清晰，而孩子还必须努力牢记这样一个概念：8个弹球作为一个整体对应一个单个的数字8。

孩子需额外付出努力才能记住以上概念，这点常常使孩子退而不前，阻碍孩子在数字理解方面的进步长达几个月，甚至几年。

孩子们认识长度时所用的教学用具，在教孩子们进行10以内的数字加减法运算时也可以使用，而且使一切变得更简单。让孩子们摆放木棒，这可以使孩子所面对的问题变得更加富有趣味性。他先把木棒按照正确顺序（摆放长楼梯的顺序）摆放好，接着拿起最后一根木棒（1）放在9旁边。同样，把（2）放到8旁边，依此类推，直到5为止。

这种简单的游戏展示了10以内的加法运算：9+1,8+2,7+3，6+4。孩子要把木棒放回原位的时候，必须先把4拿走，并且把它放回到5的下面，然后，依次拿走3、2、1。在整个过程中，孩子不但把木棒按顺序放回原处，同时也做了一系列的减法：10-4、10-3、10-2、10-1。

教导孩子实际的数字是一个里程碑，标志着孩子从木棒游戏向使用独立单位进行计算的一个飞跃。孩子一旦掌握了数字，就可以在抽象的领域运用数字了，这些抽象的数字是通过之前具体的小木棒而掌握的。具体来说，数字代表一定数量的独立单位可以组合成的一个整体。

我们可以说，语言的综合功能以及它为人类智力领域所建立的丰硕成果都多少可以通过数字来进行演示。现在数字可以代替具体的木棒了。

仅仅使用实际的木棒会把算术的范围限制在10以内或稍大一点数字内的简单运算当中，在意识的建立过程中，这些运算与简单初级的感知教育相比只稍微进步了一点点。

数字本身也是一种单词，是一种图形符号，它能使人的数学思维取得无限的进步。

在教学用具中，有一盒光滑卡片，上面粘有从砂纸上剪裁下来的从0到9的数字。这与粘有砂纸字母的卡片相似。我们采取的教学方法与以往所用大体相同。具体方法是：让孩子一边按照数字书写的方向触摸数字，一边同时念出数字名称。

在数字教学中，孩子要做的比字母学习时要多得多，孩子会看到怎样把每个数字放在对应的木棒上面。所有数字都以这种方式掌握以后，最先要做的练习就是把数字卡放在按照阶梯顺序摆放好的木棒上面。这样摆放好以后，整个教学过程就步骤连贯，有条不紊了，每个步骤都会让孩子乐在其中，孩子也愿意长时间地重复这种智力游戏。

在这个练习之后，我们会让孩子进行自由练习。孩子逐渐掌握了数字的使用，在使用数字的时候，孩子学会如何把单位数字组合在一起。

为了帮助孩子做相关练习，在我们的教学用具中备有一套木钉，除此之外，我们还给孩子们各种各样的小东西，包括木棒、小积木和筹码等。

练习的内容包括在数字的对面放上与数字对应数目的东西。孩子可以使用教学用具中的盒子来做这个练习。这个盒子分成不同的小格子，在盒子内侧的一面写着数字，孩子会把与数字等量的木钉放入相应的小格子里。

另一个练习方法是把所有数字符号放在桌子上面，然后在数字的下方放置与数字对应数目的积木、筹码等。

以上这些只是第一步，是初级阶段的内容，关于数学运算方面的具体细节，请参阅我撰写的其他内容更详尽的书。然而在这里，教学工具本身还是能说明一些问题的。在盛放木钉的盒子里，有一个小格子里面印着0这个数字。在这个格子里什么也不能放，所以我们从1开始。

0代表什么也没有，它被放置在1的旁边，这样我们数数超过9时，就可以继续数下去直到10。

如果我们不是用木棒1，而是使用与木棒10一样长度的木棒，我们就可以数10、20、30、40、50、60、70、80、90。在我们的教学用具中备有一些框架，这些框架里面有一些卡片，上面印着从10到90的数字。这些数字固定在框架之上，数字1到9可以滑动遮住数字0。数字10的0被1遮住，就会显示出数字11，如果数字10的0被2遮住，结果就显示为12，依此类推，直到最后一个数字9。接着我们转到20（第二个10），就这样从10到10。

刚开始用卡片练习组合几十这些数字的时候，我们可以使用小木棒。我们先从框架的第一个10开始，先拿木棒10。接着我们把木棒1放到木棒10旁边，同时滑动数字1遮住10的0。然后我们把木棒1和数字1从框架中拿走，把木棒2和数字2放在它们的位置上，一直这样，直到数字9。最后为了做进一步的练习，我们需要用两个木棒10来组合成20。

除此之外，我们还给孩子准备了一些串珠工具，来帮助他们练习计算。

孩子们进行这些练习时表现出极大的热情，这对他们而言实际上是一举两得，这些练习让他们在活动的过程中获得了清晰的观念。

在书写和算术领域，我们积累了辛勤教育的成果，这能够有效帮助孩子协调肢体动作，形成对世界的初步认识。这些成果的出现是必然的，它源自于人类第一次付出努力让自己和周遭世界进行有意义的沟通。

如果不通过书面语言和数字进行强化，孩子初期所收获的这些知识，就很容易荒废掉。因此，一旦孩子学会书写文字和数字，这些积累就为将来的教育提供了无可限量的机会和广阔的前景。因此，我们现在所做的事情就是为了给孩子敞开一扇门，一扇通往更高级别水平（文化的水平）的大门，孩子现在可以继续进步，进入一所学校学习，但不是现今我们所熟知意义上的学校。当今的大部分学校都缺乏理性，老师努力把文化知识填鸭式地灌输给孩子们，可是孩子们却没有做好准备，也没有进行训练去接受这些学习内容。

孩子们的头脑一旦受过训练，并且没有对日常练习活动产生厌倦，这个时候为了保持他们头脑的健康，必须为孩子们设立一种新式学校，让孩子在那里获取文化知识。我针对更大年龄段的孩子进行过一些实验，对他们所使用的教学方法是现在这种教学方法的延续，而且这些方法已经非常先进了。